Как найти наращенную сумму сложные проценты

· предыдущая страница

· в конец

Сложные проценты

4.1 Вычисление наращенной суммы на основе сложных декурсивных процентов

1. Формула наращения. В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной – она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления (running period). Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная ставка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым процентам:

P — первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала и т.д.),

S — наращенная сумма на конец срока ссуды,

п — срок, число лет наращения,

i — уровень годовой ставки процентов, представленный десятичной дробью.

Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Рi, а наращенная сумма составит . К концу второго года она достигнет величины В конце n-го года наращенная сумма будет равна

(4.1)

Проценты за этот же срок в целом таковы:

(4.2)

Часть из них поучена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет

(4.3)

Как показано выше, рост по сложным процентам представляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а знаменатель – . Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды.

Величину называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.).

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как АСТ/AСТ.

Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров — i и п. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке.

Формула наращения по сложным процентам получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисления. В этих случаях i означает ставку за один период начисления (месяц, квартал и т.д.), а n – число таких периодов. Например, если i – ставка за полугодие, то п – число полугодий и т.д.

Формулы (4.1) — (4.3) предполагают, что проценты на проценты начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процентов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке i а проценты на проценты – по ставке В этом случае

Ряд в квадратных скобках представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем . В итоге имеем

(4.4)

· Пример 4.1

2. Начисление процентов в смежных календарных периодах. Выше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно календарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окончания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к последнему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия возникает задача распределения начисленных процентов по периодам.

Общий срок ссуды делится на два периода n1 и n2. Соответственно,

где

· Пример 4.2

3. Переменные ставки. Формула предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать «классическую” схему, например, с помощью применения плавающих ставок (floating rate). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело — расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда изменения размеров ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е.

(4.5)

где — последовательные значения ставок; — периоды, в течение которых «работают” соответствующие ставки.

· Пример 4.3

4. Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в годах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется по формуле:

(4.6)

Второй, смешанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:

, (4.7)

где – срок ссуды, а — целое число лет, b — дробная часть года.

Аналогичный метод применяется и в случаях, когда периодом начисления является полугодие, квартал или месяц.

При выборе метода расчета следует иметь в виду, что множитель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему, так как для п < 1 справедливо соотношение

Наибольшая разница наблюдается при b = 1/2.

· Пример 4.4

5. Сравнение роста по сложным и простым процентам. Пусть временная база для начисления одна и та же, уровень процентных ставок совпадает, тогда:

1) для срока меньше года простые проценты больше сложных

2) для срока больше года

3) для срока 1 год множители наращения равны друг другу

Используя коэффициент наращения по простым и сложным процентам можно определить время, необходимое для увеличения первоначальной суммы в n раз. Для этого необходимо, что бы коэффициенты наращения были равны величине n:

1) для простых процентов

2) для сложных процентов

Формулы для удвоения капитала имеют вид:

а)

б)

· Пример 4.5

6. Номинальная и эффективная ставка процентов. Годовая ставка при начислении процентов несколько раз в год называется номинальной ставкой j, кроме того, указывается число периодов начисления процентов в год m, тогда сумма вычисляется по формуле:

(4.8)

· Пример 4.6

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, а начисление процентов производится m раз в году, то наращенная сумма может быть определена или по общей формуле или по общему методу:

где ml –число полных периодов начисления;

а – дробная часть одного периода начисления.

· Пример 4.7

7. Эффективная ставка. Она измеряет тот реальный относительный доход, который получает кредито в целом за год, т.е. она показывает, какую годовую ставку сложных процентов необходимо установить, что бы получить такой же финансовый результат, как и при m разовом начислении процентов по ставке j/m. Эта ставка определяется из равенства:

если первоначальная сумма периода наращения и множитель наращения равны, тогда

Из этого равенства можно определить номинальную ставку:

(4.10)

· Пример 4.8

Эффективную ставку можно рассчитать, зная наращенную сумму и величину первоначального вклада:

Способы начисления процентов по вкладу

Проценты по вкладу – это вознаграждение, выплачиваемое банком вкладчику за временное пользование его денежными средствами. Согласно требованию Центрального банка РФ, все кредитные организации, работающие на территории России, обязаны ежедневно начислять проценты по вкладам. Формально так и происходит, однако по факту клиент получает проценты по условиям договора. Чтобы понять, как рассчитать проценты по вкладу, следует учитывать, что банки используют два способа их начисления: простой и сложный (при вкладе с капитализацией процентов).

В первом случае проценты не прибавляются к телу депозита (вкладываемой сумме), а перечисляются на другой счет вкладчика в соответствии с условиями договора. Как правило, начисление дохода происходит ежемесячно, ежеквартально, раз в 6 месяцев, раз в год или в конце срока действия депозита. Во втором случае начисленный доход присоединяется к телу депозита в предусмотренные договором сроки (чаще ежемесячно или ежеквартально). Поскольку основная сумма вклада периодически увеличивается, то и начисляемые на него проценты растут. В конечном итоге общая доходность по депозиту возрастает, причем, вполне ощутимо.

Получается, что при одинаковой номинальной процентной ставке, идентичной сумме вклада и сроке действия депозит с капитализацией приносит бОльшую доходность. Это нужно учитывать при выборе оптимального предложения.

Расчет процентов по вкладу с простым начислением

Как рассчитать проценты по депозиту с простым начислением? Достаточно просто, вот по этой формуле:

S = (P x I x t / K) / 100, где:

S — сумма начисленных процентов
Р — вносимая сумма
I — годовая процентная ставка по вкладу
t — период за который будут насчитаны проценты, в днях
K — количество дней в году (год бывает и високосный)

Пример расчета: Предположим, что клиент оформил вклад с простым начислением на сумму 100 тысяч рублей на 1 год под 11,5% годовых. Получается, что при закрытии депозита вкладчик получит доход в размере: (100 000 х 11,5 х 365/365)/100 = 11500 рублей.

Расчет процентов по вкладу с капитализацией

Как рассчитать проценты по вкладу с капитализацией? Для этого существует другая формула:

S = (P x I x j / K) / 100, где:

S — сумма начисленных процентов
Р — вносимая сумма, а также все последующие суммы, увеличенные в результате капитализации
I — годовой процент по депозиту
j — количество дней в периоде, за который производится капитализация,
K — количество дней в году

Как видно из расчета, в августе доходность по вкладу выше, чем в июле, хотя, в каждом месяце 31 день. Это происходит благодаря капитализации процентов.

Ответ или решение 1

Задачу можно решить при помощи пропорции:
30000:100=х:7;
х=30000*7/1000;
х=2100(рублей).
Ответ:2100 рублей.

1.История возникновения процентов.

2. Правило, объяснение решения задач с процентами.

3. Закрепление материала, решение задач с процентами.

4.Практические советы, вывод.

Цель:Узнать новое о процентах, научиться решать задачи с процентами

Задачи: изучить информацию по данной теме, сделать практические выводы.

История возникновения процентов.

До средних веков человечество прекрасно обходилось без процентов, но с развитием математики, торговля в Европе обрела десятичные дроби, а с ними и проценты. Произошло это лишь в 15 веке, после публикации голландского математика С.С.Тевином работы под названием:”Таблица процентов”.

Определение: Процентом называется одна сотая часть числа.

Обозначается процент знаком %. Появление знака процента довольно удивительно.В 17 веке во Франции была издана книга Матье де ла Порте «Руководство по коммерческой арифметике”, в которой речь шла о процентах. В ту пору их обозначали «cto” (сокращено от «centro”). Но при наборе книги на печатной машинке эти три буквы приняли за дробь и напечатали знак «%”.Так, опечатка дала жизньновому математическому знаку.

Чтобы перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить число на 100.

Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %.Чтобы перевести обыкновенную дробь в проценты, нужно сначала превратить её в десятичную дробь. Как вы поняли, проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому стоит запомнить несколько простых равенств. В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов. Так, половина — 50%, четверть — 25%, три четверти — 75%, одна пятая — 20%, а три пятых — 60%. Сравнение величин в процентах.

Иногда бывает удобным сравнивать две величины не по разности их значений, а в процентах. Например, цену двух товаров сравнивать не в рублях, а оценивать, насколько цена одного товара больше или меньше цены другого в процентах. Если сравнение по разности вполне однозначно, то есть всегда можно найти, насколько одна величина больше или меньше другой, то для сравнения в процентах нужно указывать, относительно какой величины вычисляется процент. Такое указание, впрочем, необязательно в том случае, когда говорят, что одна величина больше другой на число процентов, превышающее 100. В этом случае остается только одна возможность вычисления процента, а именно деление разности на меньшее из двух чисел с последующим умножением результата на 100.

Существует три основных типа задач на проценты:

Задача 1. Найти указанный процент от заданного числа. Заданное число умножается на указанное число процентов, а затем произведение делится на 100.

Пример. Вклад в банке имеет годовой прирост 6%. Начальная сумма вклада равнялась 10000 руб. На сколько возрастёт сумма вклада в конце года? Решение:10000·6:100=600руб.

Задача 2. Найти процентное выражение одного числа от другого. Первое число делится на второе и результат умножается на 100.

Пример. Завод произвёл за год 40000 автомобилей, а в следующем году – только 36000 автомобилей. Сколько процентов это составило по отношению к выпуску предыдущего года?

Решение: 36000 : 40000 · 100 = 90% . В ЕГЭ задачи на проценты очень популярны. От самых простых до сложных. В этом разделе мы работаем с простыми задачами. В простых задачах, как правило, нужно перейти от процентов к тем величинам, о которых идёт речь в задаче. К рублям, килограммам, секундам, метрам, и так далее. Или наоборот.

«Проезд на автобусе стоит 14 рублей. В дни школьных каникул для учащихся ввели скидку 25%. Сколько стоит проезд на автобусе в дни школьных каникул?»

Решение: Надо узнать, сколько 25% в рублях. Сколько будет один процент от 14 рублей? Одна сотая часть. То есть 14/100 = 0,14 рубля. А таких процентов у нас 25. Умножим 0,14 рубля на 25. Получим 3,5 рублей. Величину скидки в рублях мы установили, остаётся узнать новую стоимость проезда:

Десять с половиной рублей. Это ответ.

Как видите, в простых задачках достаточно перевести заданные величины в проценты, или заданные проценты – в величины.

Рассмотрим задачу, при решении которой очень часто допускают ошибки.

«Красивая тетрадка летом стоила 40 рублей. Перед началом учебного года, продавец поднял цену на 25%. Однако, тетрадки стали покупать так плохо, что он снизил цену на 10%. Всё равесть но не берут! Пришлось ему снизить цену ещё на 15%. Вот тут торговля пошла! Какова была окончательная цена тетрадки?»

Очень хочется ответить, что 40 рублей. Но это не так. Дело в том, что проценты всегда считаются от чего-то.

Вот и считаем. На сколько рублей продавец поднял цену? 25% от 40 рублей – это 10 рублей. То есть, подорожавшая тетрадка стала стоить 50 рублей.

А теперь нам надо сбросить цену на 10% от 50 рублей. От 50, а не 40! 10% от 50 рублей – это 5 рублей. Следовательно, после первого удешевления тетрадь стала стоить 45 рублей.

Считаем второе удешевление. 15% от 45 рублей (от 45, а не 40, или 50!) – это 6,75 рубля. Стало быть, окончательная цена тетрадки:

45 – 6,75 = 38,25 рубля.

Дело в том, что проценты считаются каждый раз от новой цены. От последней. Так бывает практически всегда. Если в задаче на последовательное повышение-понижение величины открытым текстом не сказано, от чего считать проценты, надо считать их от последнего значения. Практические советы:

1. В задачах на проценты – переходим от процентов к конкретным величинам. Или, если надо – от конкретных величин к процентам. Внимательно читаем задачу!

2. Очень тщательно изучаем, от чего нужно считать проценты. Если об этом не сказано прямым текстом, то обязательно подразумевается. При последовательном изменении величины, проценты подразумеваются от последнего значения. Внимательно читаем задачу!

3. Закончив решать задачу, читаем её ещё раз. Вполне возможно, вы нашли промежуточный ответ, а не окончательный. Внимательно читаем задачу!

Вывод:

Мы рассмотрели различные задачи, узнали интересные факты о процентах. Проценты – это важное понятие, которое надо хорошо изучить.

В этом уроке мы разберем, как создать сложную формулу в Excel, а также рассмотрим типичные ошибки, возникающие у начинающих пользователей по невнимательности. Если Вы совсем недавно работаете в Excel, то советуем сначала обратиться к уроку, где мы обсуждали создание простых формул.

Как создать сложную формулу в Excel

В приведенном ниже примере, мы продемонстрируем, каким образом Excel вычисляет сложные формулы, опираясь на порядок выполнения операций. В данном примере мы хотим вычислить величину налога с продаж за услуги по питанию. Чтобы это осуществить, запишем следующее выражение в ячейке D4: =(D2+D3)*0,075. Эта формула сложит стоимость всех позиций счета, а затем умножит на размер налога с продаж 7,5% (записанный как 0,075).

Чрезвычайно важно вводить сложные формулы с верным порядком действий. Иначе расчеты Excel могут оказаться неточными. В нашем случае при отсутствии скобок, в первую очередь выполняется умножение, и результат будет неверным. Скобки являются лучшим способом определения порядка вычислений в Excel.

Создание сложных формул, используя порядок действий

В примере ниже мы воспользуемся ссылками совместно с количественными данными для создания сложной формулы, которая вычислит полную стоимость по счету за обеспечение питанием. Формула вычислит стоимость каждого пункта меню, а затем сложит все значения вместе.

1. Выделите ячейку, которая будет содержать формулу. В нашем примере мы выбрали ячейку C4.
2. Введите в нее следующее выражение: =B2*C2+B3*C3. Действия в формуле будут выполняться в соответствии с правилами порядка, следовательно, первым идет умножение: 2.29*20=45.80 и 3.49*35=122.15. Затем эти значения будут суммированы для вычисления полной стоимости: 45.80+122.15.
3. Выполните проверку, затем нажмите Enter на клавиатуре. Формула вычислит и отобразит результат. В нашем случае результат вычислений показывает, что полная стоимость заказа составляет $167.95.

Вы можете добавить скобки в любую формулу, чтобы упростить ее восприятие. Несмотря на то, что в данном примере это не изменит результат вычислений, мы все равно можем заключить умножение в скобки. Этим мы уточним, что оно выполняется до сложения.

Excel не всегда предупреждает об ошибках в формуле, поэтому Вам необходимо самостоятельно проверять все Ваши формулы. Чтобы узнать, как это можно сделать, изучите урок Проверка формул.

Оцените качество статьи. Нам важно ваше мнение: